Funciones básicas: Estudio y graficas de alguna funciones a) identidad, raíz cuadrada, polinómicas, b) valor absoluto y parte entera, c) exponencial, logarítmica neperiana y natural en base 10, cambios de base, d) funciones polinómicas y racionales, e) funciones trigonométricas.

Función identidad

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada $x \,$ de $A \,$ el mismo $x \,$ de $A \,$ se denomina función identidad o función unitaria.

$e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}$

Dada cualquier función $g \colon A \to B \,$ , es claro que $e_B\circ f \colon A \to B \,$ es igual a $f\,$ y que $f\circ e_A \colon A \to B \,$ es también igual a $f\,$ , puesto que para todo $x \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$

$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$

Función raíz

Sea n un número natural no nulo. La función (potenciación) x → xⁿ define una biyección, de R hacia R si n es impar, y de $\mathbb{R}^+ = [0,\infty)$ si $n$ es par.
Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función recíproca, y se puede anotar de formas:

$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ .

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .

En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Cambiando de escala:

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: $\sqrt{x}$ en vez de $\sqrt[2]{x}$ .
La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

$\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}$ .

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar $\sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ...$ a los números positivos.

Dominio

Las raíces de orden impar están definidas para todos los reales, en cambio las de orden par sólo están definidas para los reales positivos y el cero.

Propiedades

Como se indica con la igualdad $y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: La raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa.

Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

El contenido de este artículo incorpora (tanto en su original en Wikipedia como en este texto) material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.

Función polinómica

En matemática, las funciones polinómicas son las funciones x → P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una suma finita de potencias de x multiplicados por coeficientes reales.

Función lineal: ax + b es un binomio del primer grado
Función cuadrática: ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

Función lineal

Una función lineal de una variable real es una función matemática de la forma:

$f(x) = m x + b \,$

donde m y b son constantes.

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

$y = m x + b \,$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

m es denominada la pendiente de la recta.
b es la ordenada en el origen, el valor de y en el punto x= 0.

Función cuadrática

Una función cuadrática de una variable real es una función matemática de la forma:

y = ax² + bx + c

Si a, b y c son números reales, es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ :

Si $\Delta \ge 0 \,$ , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:
$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Si $\Delta < 0 \,$ , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica $i^2 = -1 \,$ ), pues:
$d^2 = \left (i \sqrt {-\Delta} \right )^2 = i^2 ( -\Delta ) = - ( - \Delta ) = \Delta$
y las soluciones son:
$x = \frac {-b \pm i \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

Función parte entera

La función parte entera $f: R \rarr Z / f(x) = [x] = ent(x)$ está definida por:

1. La función piso si es el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x. De esta forma, si x es un número entero, su parte entera es el mismo entero. Si x = 5/2 entonces su parte entera será 2.

2. La función techo si es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.

Siempre se tiene que

$\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x + 1 \rfloor$

y a la izquierda hay una igualdad si y sólo si x es entero.
Para todo entero k y para todo número real x se tiene:

$\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor$

El redondeo usual del número x al entero más próximo se puede expresar como la parte entera de x + 0,5.

La derivada de la función parte entera no está definida en los números enteros, y en cualquier otro punto vale 0.

... / monótonas

mat

jueves, 3 de mayo de 2007

Funciones básicas