jueves, 3 de mayo de 2007

Aplicaciones

Aplicaciones: Cálculo de máximos y mínimos, uso de límites y derivadas para graficar

Condicion necesaria y suficiente.-

Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0 en (a, b) tal que f '(x0)=0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n(x0), derivada n-esima de f.

En estas condiciones :

"La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n(x0) <> 0 ) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad


Definición:

  • Una función f es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

  • Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.


Condición suficiente de concavidad


Si una función f es tal que

para todo x en (a,b) f''(x) >0 entonces

f es cóncava hacia arriba en (a,b)

Si una función f es tal que

para todo x en (a,b) f''(x) <0>

Punto de inflexión

Definición: Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.


Condición necesaria.- Si x0 es punto de inflexión entonces f''(x0)=0


Condición suficiente.- Sea x0 / f''(x0)=0, entonces si además f'''(x0)0, x0 es punto de inflexión.


Representación de funciones


ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES


Propiedades de f obtenidas directamente Caracterización


  1. Dominio (D) de la función x D Existe y tal que y= f(x)

Recorrido (R) de la función y R Existe x tal que y= f(x)


  1. Simetrías:

a) Función par f(- x) = f(x) Eje de simetría OY

b) Función impar f( x) = f(x) Centro de simetría el origen


  1. Periodicidad f(x + T) = f(x) T periodo mínimo


  1. Puntos de corte con los ejes:

a) Corte con el eje OX f(x)= 0 Ninguno, uno o más puntos

b) Corte con el eje OY f(0) = y Ninguno o un punto


  1. Regiones de existencia de la función:

a) Intervalos de positividad f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX

b) Intervalos de negatividad f(x) <>


  1. Ramas infinitas. Puntos en el infinito:

a) Punto de partida de la gráfica (- , ?) Cuadrantes II o III

b) Punto de llegada de la gráfica ( + , ?) Cuadrantes I o IV


  1. Asíntotas:

a) Asíntotas verticales: x = u =  (a = a, a+, a-)

b) Asíntotas horizontales: y = k = k

c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n,

m= x->nn+Limf(x)/x y b=x->nn+(Limf(x)-mx), m y n reales


  1. Puntos de discontinuidad x->a limF(x) <> f(a)


Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas


  1. Monotonía:

a) Intervalos de crecimiento f ' > 0

b) Intervalos de decrecimiento f ' <>

c) Puntos críticos f '(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo

f '(a)=0 y f''(a) <>

  1. Curvatura:

a) Intervalos de convexidad f" > 0

b) Intervalos de concavidad f" <>

c) Puntos de inflexión

f"(a)=0 y f"'(a) > 0 Cóncavo convexo

f"(a)=0 y f"'(a) <>



Exprese cada una de las siguientes como una función.

a) El área de un rectángulo de largo igual al doble del ancho, en términos de uno de sus lados.

b) El área de las caras laterales de un cubo, en términos del lado.

c) El área de un triángulo equilátero, en términos del lado.

d) El volumen de un cilindro de altura igual al triple del radio, en términos del radio.

e) El volumen de un cono de radio y altura iguales, en términos de la altura.

f) El volumen de un cono de radio igual a la mitad de la altura, en términos del radio.

g) Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de 250 m3 El material de la tapa y la base cuesta $300 el m y el material de las caras laterales cuesta $100 el m. Exprese el costo de construcción de la caja como función del lado de la base.

k) Sabiendo que la solidez de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional al producto del ancho y el cubo de la altura, exprese la solidez como función del ancho, sabiendo que la altura excede en tres unidades al ancho.

i) Un depósito cilíndrico debe tener un volumen de 760 m, El costo del material del fondo cuesta $500 el m y el de la cara lateral cuesta la mitad. Exprese el costo de construcción de la caja en función del radio de la base.



Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

  1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
  2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) <>, entonces \exists c \in ]a,b[ tal que f(c) = 0
  3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces \exists c \in ]a,b[ tal que f(c) = k

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