mat: Conjuntos

La teoría de conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Ernst Zermelo.

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente. Georg Cantor.

Conjunto es una colección de objetos con alguna propiedad que los identifique.

Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto

Imagen:Absolute complement (set teory, Venn diagram).PNG

El conjunto universal, Universo, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando.

Existe un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por $\emptyset$ . Es decir

$\emptyset = \{\}$

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: $a$ , $b$ , $k$ ,...

De esta manera, si $~A$ es un conjunto, y $~a, b, c, d, e$ todos sus elementos, es común escribir:

$~A= \{a, b, c, d, e\}$

para definir a tal conjunto $~A$ . Esta notación empleada para definir al conjunto $~A$ se llama notación por extensión

Para representar que un elemento $~x$ pertenece a un conjunto $A$ , escribimos $x\in A$ (léase " $x$ en $A$ ", " $x$ pertenece a $A$ " o bien " $x$ es un elemento de $A$ "). La negación de $x\in A$ se escribe $x\notin A$ (léase $~x$ no pertenece a $~A$ ).

La caracteristica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir

$\forall x \quad x\notin\emptyset$ .

Por otro lado, si todos los elementos $~x$ de un conjunto $A$ satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p, con la indeterminada $~x$ , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

A = {x e U | p}

Lo anterior se lee " $A$ es el conjunto de elementos $x$ en el Universo, que cumplen la propiedad p $(x)$ ". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra $\mid$ .

Por ejemplo, el conjunto $~A= \{1, 2, 3, 4\}$ puede definirse por:

$~A= \{n\in\mathbb N: 1\leq n\leq 4\}$

donde el símbolo $\mathbb{N}$ representa al conjunto de los números naturales.

El uso de algún conjunto $U$ es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo

$M=\{x:x\notin x\}$

Es decir, $M$ es el conjunto donde cada elemento $x$ satisface la propiedad $x\notin x$ . Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto $M$ no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que $M$ es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿ $M\in M$ ?" Si la respuesta es negativa ( $M\notin M$ ) entonces $M$ cumple la propiedad $x\notin x$ y por lo tanto $M\in M$ . Si por el contrario la respuesta es afirmativa ( $M\in M$ ), entonces $M$ no cumple con la propiedad $x\notin x$ y por esta razón $M\notin M$ . Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos $~A$ y $~B$ se dicen iguales, lo que se escribe $~A = B$ si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento $~x$ , se verifique

$x\in A\iff x\in B$

Subconjuntos y Superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra $A\subseteq B$

Un conjunto $~A$ se dice que es subconjunto de otro $~B$ , si cada elemento de $~A$ es también elemento de $~B$ , es decir, cuando se verifique:

$x\in A\Rightarrow x\in B$ ,

sea cual sea el elemento $~x$ . En tal caso, se escribe $A\subseteq B$ .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si $A\subseteq B$ , se cumpla $A = B\,$ . Si $~B$ tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto $~A$ , pero si todo elemento de $~A$ es elemento de $~B$ , entonces decimos que $~A$ es un subconjunto propio de $~B$ , lo que se representa por $A\subset B$ .

Si $~A$ es un subconjunto de $~B$ , decimos también que $~B$ es un superconjunto de $~A$ , lo que se escribe $B\supseteq A$ . Así pues

$B\supseteq A\iff A\subseteq B$ ,

y también que:

$B\supset A\iff A\subset B$ ,

significando $B\supset A$ que $~B$ es superconjunto propio de $~A$ .

Por el principio de identidad, es siempre cierto $x\in A\Rightarrow x\in A$ , para todo elemento $~x$ , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que $\subseteq$ es una relación de orden sobre un conjunto $~S$ de conjuntos, pues

$A\subseteq A$			( $\subseteq$ es reflexiva)
$A\subseteq B\wedge B\subseteq A$	$\qquad\Rightarrow\qquad$	$A=B \,$	( $\subseteq$ es antisimétrica)
$A\subseteq B\wedge B\subseteq C$	$\qquad\Rightarrow\qquad$	$A\subseteq C$	( $\subseteq$ es transitiva)

Operaciones de conjuntos

Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos.

Unión

Diagrama de Venn que ilustra $A\cup B$

Para cada par de conjuntos $A$ y $B$ existe un conjunto que se denota como $A\cup B$ el cual contiene todos los elementos de $A$ y de $B$ . De manera más general, para cada conjunto $S$ existe otro conjunto denotado como $\bigcup S$ de manera que sus elementos son todos los $x\in X$ tales que $X\in S$ . De esta manera $A\cup B$ es el caso especial donde $S=\{A,B~\}$ .

Es claro que el hecho de que un elemento $x$ pertenezca a $A\cup B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x$ es un elemento de $A$ o al menos de $B$ . Es decir

$x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\}$

$~B= \{\star, 6, \dagger, \square\}$

$~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\}$

$~S=\{A,B,C\}$

Entonces

$A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\}$

$A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\}$

$\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}$

$~A \cup \emptyset= A$

Intersección

Diagrama de Venn que ilustra $A\cap B$

Los elementos comunes a $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $A\cap B$ . Es decir, $A\cap B$ es el conjunto que contiene a todos los elementos de $A$ que al mismo tiempo están en $B$ :

$A\cap B = \{x\in A:x\in B\}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que $x\in A\cap B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x\in A$ y $x\in B$ . Es decir

$x\in(A\cap B)\iff (x\in A)\wedge(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{2, 4, 6\}$

$~B= \{4, 6, 8, 10\}$

$~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cap B = \{4, 6\}$

$A\cap C = \emptyset$

$A\cap \emptyset = \emptyset$

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra $B - A~$

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por $~A\setminus B$ . Es decir:

$A\setminus B= \{x\in A:x\notin B\}$ .

o dicho de otra manera:

$x\in(A\setminus B)\iff (x\in A) \wedge (x\notin B)$

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de $A~$ y $B~$ como $A-B~$ .

Una propiedad interesante de la diferencia es que

$A\cap B=A\setminus(A\setminus B)$

eso es porque

$\begin{array}{rcl} x\in A\cap B & \iff & (x\in A) \wedge (x\in B)\\ &\iff& (x\in A) \wedge (x\notin A\setminus B)\\ &\iff& x\in A\setminus (A\setminus B) \end{array}$

Ejemplos: Sin importar cual conjunto $A$ elija usted, siempre se cumple

$A\setminus\emptyset = A$

$\emptyset\setminus A = \emptyset$

$\{0,1,2,3\}\setminus\{3,2\}=\{0,1\}$

Complemento

El complemento de un conjunto $A$ , es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto $U$ pero no pertenecen a $A$ , que lo representaremos por $A^\complement$ . Es decir

$A^\complement=U\setminus A$

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que $A\subseteq U$ y $B\subseteq U$ , entonces

$x\in \left (A\setminus B\right) \iff x\in \left(B\cap A^\complement\right)$ ,

de manera que

$A\setminus B=A\cap B^\complement$

Pero también

$\begin{array}{rcl} x\in \left (B\cap A^\complement\right ) & \iff & x\in B \wedge x\in A^\complement )\\ &\iff& x\in A^\complement \wedge \ x\in B\\ &\iff& x\in A^\complement \wedge x\notin B^\complement\\ &\iff& x \in\left (A^\complement\setminus B^\complement\right) \end{array}$

de modo que

$~B\setminus A = \left (A^\complement\setminus B^\complement\right)$

Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

$B\Delta A = \left (B\setminus A\right )\cup\left (A\setminus B\right )$

Álgebra de conjuntos

Sean $A$ , $B$ , y $C$ conjuntos cualesquiera y $U$ un conjunto tal que $A\subseteq U$ , $B\subseteq U$ y $C\subseteq U$ entonces:

$A \cap A = A$
$A \cup A = A$
$A \setminus A = \empty$
$A \cap B = B \cap A$
$A \cup B = B \cup A$
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)$
$C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)$
$C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C) \cup (C \setminus B)$
$(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)$
$(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)$
$A \subseteq B \iff A \cap B = A$
$A \subseteq B \iff A \cup B = B$
$A \subseteq B \iff A \setminus B = \empty$
$A \cap B = \empty \iff B \setminus A = B$
$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$
$A \cap \empty = \empty$
$A \cup \empty = A$
$\empty \setminus A = \empty$
$A \setminus \empty = A$
$\left(A^\complement\right)^\complement = A$
$A \setminus B = A \cap B^\complement$
$(B \setminus A)^\complement = A \cup B^\complement$
$A \subseteq B \iff B^\complement \subseteq A^\complement$
$A \cap U = A$
$A \cup U = U$
$U \setminus A = A^\complement$
$A \setminus U = \empty$
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Producto cartesiano de conjuntos

Un par ordenado de números $\left (x, y\right )$ es tal si los pares $\left (x, y\right )$ y $\left (y, x\right )$ son uno mismo si y sólo si $~x = y$ .

Dados dos conjuntos $~A$ y $~B$ , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de $~A$ y $~B$ (en ese orden), representado por $~A\times B$ , como el conjunto