Función exponencial

En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma

$F(x)=K \cdot a^x$

siendo $a$ y $k$ reales.

La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que $a = e$ . Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.

Esta función se nota exp: R → R^+*

$x \mapsto e^x = \exp(x)$

donde e es la base de los logaritmos naturales.

y = exp x <=> x = ln y (con y >0)

La tangente en x = 1, T₁, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T₀, pasa por el punto (-1, 0).

Propiedades

Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 )verde) y a = 1,7 (violeta).

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →e^x.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en una constante

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

$e^{-a} = {1 \over e^a}$

$e^{a - b} = {e^a \over e^b}$

su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

$e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \mbox{sen } t$ .

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:

$e^{a+bi} = e^{a}\cdot(\cos b + i \mbox{sen } b)$

Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Derivada

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos
$z=\operatorname{Re} \left (\exp \left( x + i y \right)\right)$

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

${d \over dx} e^x = e^x$

Es decir, e^x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución de la ecuación diferencial $y' = y$ .

Definición formal

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$