Ecuaciones: nociones de ecuaciones y su interpretación grafica y analítica

Ecuación

Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).

En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones.

Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará inecuación.

Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios (V.g.: $x^3y+4x-y=2xy \,\!$ ). En particular, realizando transformaciones sobre los miembros de la ecuación (en ambos miembros las mismas transformaciones y en el mismo orden) puede conseguirse que uno de los miembros se reduzca a 0, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es una en la que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero (volviendo a nuestro ejemplo, la ecuación resultaría $x^3y+4x-y-2xy=0 \,\!$ ).

Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.

¿Cómo resolver una ecuación de primer grado?

Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.

Para empezar comenzemos con una ecuación de primer grado sencilla:

$9 x - 9 + 108 x - 6 x - 92 = 16 x + 28 + 396$

Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los terminos, el izquierdo o el derecho.

1- TRANSPOSICIÓN: Lo primero que debemos hacer es colocar los terminos con X en un lado, y los numeros en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasarlos al otro termino. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:

Si el número esta restando (Ej: -6): Pasa al otro lado sumando (+6)

Si el número esta sumando (Ej: +9): Pasa al otro lado restando (-9)

Si el número esta multiplicando (Ej: ·2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)

Si el número esta dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado multiplicando (·5)

Una vez hemos pasado todos los terminos en nuestra ecuación, esta quedaría así:

$9 x + 108 x - 6 x - 16 x = 28 + 396 + 9 + 92$

Como podrás comprobar todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la derecha.

2- SIMPLIFICACIÓN:

Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea

Es decir en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92

De forma que nuestra ecuación pasaría a ser esta:

$95 x = 475$

3- DESPEJAR:

Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola, para ello volveremos a recurrir a la transposición.

Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo:

$x = 475 / 95$

Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 475/95. Sin embargo debemos simplificar esto.

Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto, si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ese es el resultado.

En nuestra ecuación vemos que si se puede resolver la fracción (475:95=5)

por lo tanto

x=5

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas.Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

-Ecuaciones de la forma $a x 2 + c = 0$

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

$x 2 - 16 = 0$ //Pasamos -16 al segundo término

$x 2 = 16$ //Ahora pasamos el exponente al segundo término haciendo la operación opuesta, en este caso raíz cuadrada

$x=\sqrt16=\pm4$ La ecuación ya está resuelta

-Ecuaciones de la forma $a x 2 + b x = 0$

Tengamos:

$3 x 2 + 9 x = 0$ //En este tipo de ecuaciones lo primero que hacemos es sacar x factor común de ambas expresiones:

$x (3 x + 9) = 0$ // Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0, por lo tanto una de los factores tiene que ser igual a 0. Así que o el primer factor (x)es igual a cero (esta es la primera solución) o:

$3 x + 9 = 0$

$3 x = - 9$

$x=\frac{-9}{3}=-3$