Inecuaciones

Inecuaciones:

Resoluciónde inecuaciones por métodos gráficos y analíticos

(por problemas de manejo de símbolos en este blogger he tenido que convertir a pdf este capítulo y tomarle foto para poder publicarlo aquí, pues tampoco pude mostrarlo directo en pdf)

Inecuación

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD

< > ≤ ≥

Ejemplos de desigualdades:

3 <>

-2 > -5

x ≤ 2

x-3 ≥ y

Ejemplos de inecuaciones:

x ≤ 2,

x-3 ≥ y

x²-5x ≤ 4

xy-3 > 0

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

INECUACIÓN	TIPO
2x-3 > x-5	1º grado; 1 incóg.
x-3 ≥ y	1º grado; 2 incóg
x2-5x ≤ 4	2º grado; 1 incóg.
xy-3 > 0	2º grado; 2 incóg.

Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo sentido.	Ejemplos
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, resulta otra de sentido contrario.

RESOLVER UNA INECUACIÓN
Consiste en buscar el valor o valores de la(s) incógnita(s) para que la desigualdad sea verdadera.	Ejemplo: Inecuación: x-3 > 2 Sumando 3 a ambos miembros, obtenemos: x > 5
SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN Valores de la (s) variable (s) para los que se cumple la desigualdad.	Soluciones: Todos los números reales mayores que 5, es decir: x ∈ (5, ∞)

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas:

ax + b <> 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0

Resolución: Se representa la función afín y = ax + b, y se observa donde ax+b tiene el signo que se pide en cada caso.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES
Al igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos inecuaciones con paréntesis y denominadores. Para resolverlas obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión cada vez más sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas.
El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones:	Ejemplo: Resolvamos la inecuación:
1º.- Quitar paréntesis.	1º.- Quitamos paréntesis
2º.- Quitar denominadores.	2º.- Quitamos denominadores
3º.- Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una de las formas básicas).	3º.- Reducimos términos semejantes
4º.- Resolver la inecuación.	4º.- Resolvemos la inecuación

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas:

Ax²+Bx+C < style=""> Ax²+Bx+C > 0 Ax²+Bx+C ≤ 0 Ax²+Bx+C ≥ 0

Resolución: Se hace la gráfica de la función cuadrática y = Ax²+Bx+C, y se observa donde y = Ax²+Bx+C tiene el signo que se pide en cada caso.

Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 2x²–3x+1 ≤ 0

INECUACIONES DE 1^er GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Recuerda que una ecuación con dos incógnitas de la forma ax+by+c = 0 tiene infinitas soluciones, que son todos los pares de valores (x,y) que la cumplen.

Gráficamente si representamos en el plano de coordenadas esos infinitos puntos, resulta una recta.

Ejemplo: En la siguiente escena vemos en color rojo la solución gráfica de la ecuación 3x–2y–3 = 0.

RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES DE 1^er GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Las inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas son las de alguna de las siguientes formas básicas:

ax + by + c <> 0 ax + by + c ≤ 0 ax + by + c ≥ 0

Resolución: Se hace la gráfica de la recta ax + by + c = 0, y se busca cuál es la zona donde ax+by + c tiene el signo que se pide en cada caso.

Ejemplo: Resolvamos la inecuación: x –2y + 3 ≤ 0

SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE 1^er GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Resolver un sistema de dos o más inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas consiste simplemente en resolver cada una de ellas y hacer la correspondiente gráfica en un mismos sistema de referencia, así observaremos más fácilmente la solución do sistema.

Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones:

... composición de funciones