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Derivadas

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo $Δ$ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente

$\Delta y \over \Delta x$

cuando $Δ x$ se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x

$dy \over dx$

Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias:

$g(x)=\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Luego a la variable h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Notación

Existen diversas formas para nombrar a las derivadas. Si f es una función, se escribe la derivada de la función $f$ al valor $x$ en varios modos:

$f'(x) \,$ {Notación de Lagrange}

se lee " $f$ prima"

$\mathrm D_x f \,$ o $\partial_x f$ {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}

se lee " $d$ sub $x$ de $f$ ", y

$\dot{x}$ { Notación de Newton}

se lee "punto $x$ " o " $x$ punto".

$\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}$ , $\frac {\mathrm df}{\mathrm dx}$ ó $\frac {\mathrm d}{\mathrm dx} f(x)$ {Notación de Leibniz}

se lee "derivada de $y$ ( $f$ ó $f$ de $x$ ) con respecto a $x$ " (Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales).

Diferenciabilidad

Una función es diferenciable en un punto $x$ si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función no es continua en un punto $x$ , no tiene línea tangente y, por tanto, la función no es diferenciable en ese punto; sin embargo, aunque una función sea continua en $x$ , puede no ser diferenciable allí. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no viceversa.

La derivada de una función diferenciable puede ser, asimismo, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama la segunda derivada. De un modo parecido, la derivada de una segunda derivada es la tercera derivada, y así sucesivamente.

Esto también recibe el nombre de Derivación Sucesiva o de Orden Superior

Cociente de diferencias de Newton

La derivada de una función $f$ es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de $f$ en $x$ . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente conocemos un punto en la línea tangente: $(x, f (x))$ . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Definimos, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño $h$ . $h$ representa un cambio relativamente pequeño en $x$ , y puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los puntos $(x, f (x))$ y $(x + h, f (x + h))$ es

$f(x + h) - f(x) \over h$ .

Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de $f$ en $x$ es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

$f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}$ .

Si la derivada de $f$ existe en todos los puntos $x$ , se puede definir la derivada de $f$ como la función cuyo valor en cada punto $x$ es la derivada de $f$ en $x$ .

Puesto que sustituir $h$ por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la $h$ del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Notaciones para diferenciación

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de $f (x)$ en el punto $a$ , se escribe:

$f^\prime(a)$ para la primera derivada,

$f^{\prime\prime}(a)$ para la segunda derivada,

$f^{\prime\prime\prime}(a)$ para la tercera derivada,

$f^{(n)}(a)\,$ para la enésima derivada (

n > 3

Para la función derivada de $f (x)$ , se escribe $f^\prime(x)$ . De modo parecido, para la segunda derivada de $f$ se escribe $f^{\prime\prime}(x)$ , y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de $f (x)$ , se escribe:

$\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}.$

Con esta notación, se puede escribir la derivada de $f$ en el punto $a$ de dos modos diferentes:

$\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\right)(a).$

Si $y = f (x)$ , se puede escribir la derivada como

$\mathrm dy \over \mathrm dx$

Las derivadas sucesivas se expresan como

$\frac{\mathrm d^n\left(f(x)\right)}{\mathrm dx^n}$ o $\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}$

para la enésima derivada de $f (x)$ o de $y$ respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

$\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm d \left( \frac{\mathrm d \left(f(x)\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}$

la cual se puede escribir como

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{\mathrm d^3}{\left(\mathrm dx\right)^3} \left(f(x)\right).$

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.$

(En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.)

La notación de Newton para la diferenciación era poner un punto arriba del nombre de la función:

$\dot{x} = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = x^\prime(t)$

$\ddot{x} = x^{\prime\prime}(t)$

y así sucesivamente.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solamente se usa para las primeras y segundas derivadas.

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jueves, 3 de mayo de 2007

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