sábado, 19 de mayo de 2007

Distancia

La distancia es una magnitud escalar que mide la relación de lejanía entre dos puntos.

En el espacio euclídeo la distancia entre dos puntos coincide con la longitud del camino más corto entre dos puntos, sin embargo, eso no nos sirve como definición formal de distancia, ya que para la definición de longitud es necesaria la de la distancia. Por eso en este artículo se acude a una definición formal de distancia. Además en espacios de geometrías más complejas el concepto de distancia y el de longitud de una curva no tienen porqué coincidir.

Definición formal

Desde un punto de vista formal, para un conjunto de elementos $X$ se define distancia o métrica como cualquier función binaria $d (a, b)$ de $X \times X$ en $\mathbb{R}$ que verifique las siguientes condiciones:

No negatividad: $d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X$
Simetricidad: $d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X$
Desigualdad triangular: $d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X$
$\forall x \in X : d(x,x)=0$ .
Si $x,y \in X$ son tales que $d (x, y) = 0$ , entonces $x = y$ .

Distancia (geometría)

Se denomina distancia euclídea entre dos puntos $A (x 1, y 1)$ y $B (x 2, y 2)$ del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos $A$ y $B$ . Puede calcularse así:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

La distancia entre un punto $P$ y una recta $R$ es la longitud del segmento de recta que es perpendicular a la recta $R : A x + B y + C = 0$ y la une al punto $P (x 1, y 1)$ . Puede calcularse así:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

donde |·| denota valor absoluto.

La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud del segmento de recta perpendicular a ambas que las une.

La distancia entre un punto $P$ y un plano $L$ es la longitud del segmento de recta perpendicular al plano $L = A x + B y + C z + D$ que lo une al punto P(x₁,y₁,z₁) y puede calcularse así:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

... Inecuaciones

martes, 15 de mayo de 2007

logaritmos

Logaritmo

En Matemática, el logaritmo es la función inversa de la función potencia x = bⁿ, que permite obtener n. Esta función se escribe como n = log_b x. Es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Por ejemplo:

34 = 81

$\longmapsto$ $\log_3 81 = 4 \,\!$

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bⁿ = x, b puede ser encontrado con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación. Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.

Logaritmos en otras bases

La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

$\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!$

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

$\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!$

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como $\log(x)\,\!$ , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Propiedad fundamental

La denominada propiedad fundamental, definida por:

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \,\!$ (1) (con a>0 y b>0)

fue la que permitió construir las primeras tablas de logaritmos, cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular un producto se buscaban en la tabla los logaritmos de los factores, se sumaban, y se buscaba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a la expresión ln a + ln b. La hoy desaparecida regla de cálculo utilizaba el mismo proceso.

Prueba: Sea f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, lo que significa que f es constante en el intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), es decir: ln ab - ln b = ln a -ln 1, o sea ln ab = ln a + ln b.

Consecuencias:

ln (1/a) = - ln a. (2)

En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0.

ln (a/b) = ln a - ln b. (3)

En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.

ln (aⁿ) = n.ln a. (4) , para cualquier valor real de n.

Esto se demuestra por inducción para todo número entero natural "n", y luego para todo "n" entero, con (2), y luego para todo "n" racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, lo que acaba la prueba.

Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias: a^x = b tiene como solución x = lnb/lna cuando a ≠ 1, a>0 y b>0.

... / geometria

Función exponencial

En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma

$F(x)=K \cdot a^x$

siendo $a$ y $k$ reales.

La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que $a = e$ . Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.

Esta función se nota exp: R → R^+*

$x \mapsto e^x = \exp(x)$

donde e es la base de los logaritmos naturales.

y = exp x <=> x = ln y (con y >0)

La tangente en x = 1, T₁, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T₀, pasa por el punto (-1, 0).

Propiedades

Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 )verde) y a = 1,7 (violeta).

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →e^x.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en una constante

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

$e^{-a} = {1 \over e^a}$

$e^{a - b} = {e^a \over e^b}$

su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

$e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \mbox{sen } t$ .

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:

$e^{a+bi} = e^{a}\cdot(\cos b + i \mbox{sen } b)$

Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Derivada

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos
$z=\operatorname{Re} \left (\exp \left( x + i y \right)\right)$

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

${d \over dx} e^x = e^x$

Es decir, e^x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución de la ecuación diferencial $y' = y$ .

Definición formal

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

o como el límite de la sucesión:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

,,, / geometria

Función parte entera

La función parte entera $f: R \rarr Z / f(x) = [x] = ent(x)$ está definida por:

1. La función piso si es el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x. De esta forma, si x es un número entero, su parte entera es el mismo entero. Si x = 5/2 entonces su parte entera será 2.

2. La función techo si es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.

Siempre se tiene que

$\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x + 1 \rfloor$

y a la izquierda hay una igualdad si y sólo si x es entero.
Para todo entero k y para todo número real x se tiene:

$\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor$

El redondeo usual del número x al entero más próximo se puede expresar como la parte entera de x + 0,5.

La derivada de la función parte entera no está definida en los números enteros, y en cualquier otro punto vale 0.

... / exponenciales

Valor absoluto

Gráfica de la función valor absoluto

El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo $z$ (representado como $| z |$ ) viene dado por la siguiente expresión:

$|z| = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}$

Podemos notar que el valor absoluto de un número siempre tomará valores no-negativos, es decir:

$\forall{z}{\in}\mathbb{C}\; |z| \geq 0$

La propiedad más importante del valor absoluto es la siguiente:

$|z| = \left| -z \right| \Longleftrightarrow \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} = \sqrt{\mathrm{Re}(-z)^2 + \mathrm{Im}(-z)^2}$

De forma que:

$z = a + \mathrm{i}b \Longrightarrow |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$-z = -a - \mathrm{i}b \Longrightarrow \left| -z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Valor absoluto de los números reales

Un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a 0, de forma que:

$x \in \mathbb{R} \Longrightarrow |x| = \left| -x \right| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2}$

Así, para los números reales, existe una definición alternativa de valor absoluto:

$\forall{x}{\in}\mathbb{R}\; |x| = \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.$

Se utiliza la función módulo para expresar la solución de la raíz de una incógnita elevada a una potencia de orden par ya que la misma tiene dos resultados vàlidos, un número y su correspondiente inverso, ya que ambos arrojan un resultado positivo al ser elevados a una potencia par. Esto no ocurre cuando el orden es impar, ya que el signo no se ve alterado por la potenciación.

Evaluaciones

El máximo concepto de valor absoluto se puede utilizar para hallar la distancia entre dos puntos. En física es muy usual hablar del módulo o norma para referirse a la longitud de un vector.

Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - a|

Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.

Otro ejemplo. Utilizando el mismo razonamiento anterior, la inecuación |x - 5| <>x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición pertenecen al intervalo (-5;15). A este intervalo abierto se lo denomina intervalo.

... / parte entera

jueves, 10 de mayo de 2007

Funciones cóncavas y convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función es ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima de la función.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

... / valor absoluto

miércoles, 9 de mayo de 2007

funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el período.

Véase también: función periódica

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: $f(x) = -f(x + T/2)\,$ . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

... / cóncavas y convexas

funciones monótonas

La función f es estrictamente creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$

f es estrictamente decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

f es creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

... /funciones periódicas

mat

sábado, 19 de mayo de 2007

Distancia

Distancia

Distancia (geometría)

martes, 15 de mayo de 2007

logaritmos

Logaritmo

Logaritmos en otras bases

Propiedad fundamental

Función exponencial

Propiedades

Derivada

Definición formal

Función parte entera

Función parte entera

Valor absoluto

Valor absoluto

Valor absoluto de los números reales

Evaluaciones

jueves, 10 de mayo de 2007

Funciones cóncavas y convexas

miércoles, 9 de mayo de 2007

funciones periódicas

funciones monótonas

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